Βγάλτε το βούτυρο από το ψυγείο 1-2 ώρες πριν το μαγείρεμα για να μαλακώσει.
Κοσκινίστε το αλεύρι σε ένα μεγάλο μπολ, προσθέστε αλάτι.
Σχηματίστε ένα σωρό από αλεύρι με μια λακκούβα στο κέντρο.
Προσθέστε ζάχαρη, βάλτε μαλακούς κύβους βουτύρου, σπάστε ένα αυγό.
Ζυμώνουμε τη ζύμη, προσθέτοντας νερό σε μικρές δόσεις. Το μείγμα πρέπει να είναι ελαστικό.
Σχηματίστε μια μπάλα από τη ζύμη, τυλίξτε την σε μεμβράνη και τοποθετήστε την στο ψυγείο για 30 λεπτά.
Ανοίξτε την κρύα ζύμη σε έναν κύκλο στο μέγεθος του ταψιού. Σκεπάστε ξανά τη ζύμη με πλαστική μεμβράνη και βάλτε την στο ψυγείο.
Ετοιμάστε τη γέμιση: ανακατέψτε το βούτυρο, το νερό και τη ζάχαρη και τοποθετήστε σε χαμηλή φωτιά. Ζεστάνετε μέχρι να σχηματιστεί μια κεχριμπαρένια καραμέλα. Ανακινείτε την κατσαρόλα περιστασιακά κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας.
Ξεφλουδίστε τα μήλα και αφαιρέστε τα κουκούτσια. Κόψτε τα προετοιμασμένα φρούτα σε φέτες.
Ρίξτε την καραμέλα σε ένα ταψί, το οποίο έχετε προηγουμένως λαδώσει με βούτυρο.
Τοποθετήστε φέτες μήλου πάνω από την καραμέλα, επικαλύπτοντάς τες σε κύκλο. Θα συρρικνωθούν ελαφρώς κατά το ψήσιμο.
Καλύψτε τα μήλα με τη ζύμη, διπλώνοντας τις άκρες της ζύμης προς τα μέσα, έτσι ώστε να σχηματιστούν μικρές πλευρές όταν τα γυρίζετε.
Κόψτε ελαφρά το κέντρο της ζύμης για να βγει ο ατμός.
Προθερμάνετε τον φούρνο στους 180°C και τοποθετήστε την πίτα μέσα. Ψήστε για 30-40 λεπτά.